矩阵基础理论入门

本文基于阿瑟·凯莱 1858 年《矩阵理论回忆录》整理，采用现代标准记号 (A^T)、(\det A)、(I) 等。原稿中若干写法容易引起误解，例如把矩阵本身直接代入行列式、把数乘矩阵称为“相似矩阵”、逆矩阵偏导数表示未转置等；本文统一修正为现代标准表述。

1. 矩阵与线性方程组

一个 (m\times n) 矩阵是按矩形排列的数表。若 (m=n)，称为方阵；否则称为长方矩阵。例如线性方程组

$$
\begin{cases}
X=ax+by+cz,\
Y=a'x+b'y+c'z,\
Z=a''x+b''y+c''z
\end{cases}
$$

可简写为

$$
\begin{pmatrix}X\Y\Z\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
a&b&c\
a'&b'&c'\
a''&b''&c''
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
$$

右端的数表就是一个矩阵。矩阵理论的基本运算，大多由这种线性变换的复合与相加产生。

2. 零矩阵、单位矩阵与数量矩阵

所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，记作 (0)：

$$
0=\begin{pmatrix}0&0&0\0&0&0\0&0&0\end{pmatrix}.
$$

主对角线元素为 (1)、其余为 (0) 的方阵称为单位矩阵，记作 (I)：

$$
I=\begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1\end{pmatrix}.
$$

数 (k) 与单位矩阵相乘得到数量矩阵：

$$
kI=\begin{pmatrix}k&0&0\0&k&0\0&0&k\end{pmatrix}.
$$

注意：现代“相似矩阵”有专门含义，指存在可逆矩阵 (P) 使

$$
B=P^{-1}AP.
$$

原稿把 (L) 与 (kL) 称为相似矩阵，这是旧式用法，本文不采用。

3. 矩阵加法与数乘

同型矩阵可以相加，对应元素相加：

$$
(A+B){ij}=a{ij}+b_{ij}.
$$

矩阵加法满足交换律和结合律：

$$
A+B=B+A,\qquad (A+B)+C=A+(B+C).
$$

数乘矩阵指用数 (k) 乘每个元素：

$$
(kA){ij}=k a{ij}.
$$

数乘满足分配律：

$$
k(A+B)=kA+kB,\qquad (k+l)A=kA+lA.
$$

并且

$$
0A=0,\qquad 1A=A,\qquad (-1)A=-A.
$$

4. 矩阵乘法

设 (A=(a_{ij})) 为 (m\times n) 矩阵，(B=(b_{jk})) 为 (n\times p) 矩阵，则乘积 (C=AB) 为 (m\times p) 矩阵，其中

$$
c_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}.
$$

也就是说，乘积矩阵第 (i) 行第 (k) 列元素，等于左矩阵第 (i) 行与右矩阵第 (k) 列的内积。

矩阵乘法满足结合律与分配律：

$$
(AB)C=A(BC),
$$

$$
A(B+C)=AB+AC,\qquad (A+B)C=AC+BC.
$$

但一般不满足交换律：

$$
AB\neq BA
$$

通常成立。这是矩阵代数与普通数代数最重要的区别之一。

例如

$$
A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix},
\qquad
B=\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix},
$$

则

$$
AB=\begin{pmatrix}2&1\4&3\end{pmatrix},
\qquad
BA=\begin{pmatrix}3&4\1&2\end{pmatrix}.
$$

因此

$$
AB\neq BA.
$$

对任意矩阵 (A)，有

$$
AI=IA=A,\qquad A0=0A=0.
$$

5. 行列式、余子式、代数余子式与伴随矩阵

5.1 行列式

方阵 (A) 的行列式记作 (\det A) 或 (|A|)。二阶行列式定义为

$$
\det\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=ad-bc.
$$

三阶行列式可按第一行展开：

$$
\det\begin{pmatrix}
a&b&c\
d&e&f\
g&h&i
\end{pmatrix}

a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
$$

5.2 余子式与代数余子式

设 (A=(a_{ij})) 为 (n) 阶方阵。删去第 (i) 行第 (j) 列后，剩下一个 ((n-1)) 阶方阵，其行列式称为元素 (a_{ij}) 的余子式，记作 (M_{ij})。

在余子式前加上符号 ((-1)^{i+j})，得到代数余子式：

$$
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
$$

5.3 伴随矩阵

由所有代数余子式组成的矩阵再转置，称为 (A) 的伴随矩阵：

$$
\operatorname{adj}(A)=(C_{ji})=
\begin{pmatrix}
C_{11}&C_{21}&\cdots&C_{n1}\
C_{12}&C_{22}&\cdots&C_{n2}\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\
C_{1n}&C_{2n}&\cdots&C_{nn}
\end{pmatrix}.
$$

若 (\det A\neq 0)，则

$$
A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A).
$$

等价地，

$$
(A^{-1}){ij}=\frac{C{ji}}{\det A}.
$$

原稿中曾用行列式偏导数表示逆矩阵。正确写法应为

$$
\frac{\partial \det A}{\partial a_{ij}}=C_{ij},
$$

因此

$$
A^{-1}=\frac{1}{\det A}
\left(
\frac{\partial \det A}{\partial a_{ij}}
\right)^T.
$$

注意这里必须转置，否则得到的是代数余子式矩阵本身，而不是伴随矩阵。

5.4 计算逆矩阵的途径

计算 (A^{-1}) 的标准步骤如下：

1. 计算行列式 (\det A)。若 (\det A=0)，则 (A) 不可逆。
2. 对每个元素 (a_{ij})，删去第 (i) 行第 (j) 列，求余子式 (M_{ij})。
3. 计算代数余子式 (C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij})。
4. 排列成代数余子式矩阵 (C=(C_{ij}))。
5. 转置得到伴随矩阵 (\operatorname{adj}(A)=C^T)。
6. 用公式

$$
A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A).
$$

5.5 二阶矩阵示例

设

$$
A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}.
$$

则

$$
M_{11}=d,\qquad M_{12}=c,\qquad M_{21}=b,\qquad M_{22}=a.
$$

所以

$$
C_{11}=d,\qquad C_{12}=-c,\qquad C_{21}=-b,\qquad C_{22}=a.
$$

于是

$$
\operatorname{adj}(A)=
\begin{pmatrix}d&-b\-c&a\end{pmatrix}.
$$

若 (ad-bc\neq 0)，则

$$
A^{-1}=
\frac{1}{ad-bc}
\begin{pmatrix}d&-b\-c&a\end{pmatrix}.
$$

5.6 三阶矩阵示例

设

$$
A=
\begin{pmatrix}
1&2&3\
0&1&4\
5&6&0
\end{pmatrix}.
$$

先计算行列式：

$$
\det A

1(1\cdot 0-4\cdot 6)
-2(0\cdot 0-4\cdot 5)
+3(0\cdot 6-1\cdot 5)
=1.
$$

各代数余子式为

$$
C_{11}=-24,\quad C_{12}=20,\quad C_{13}=-5,
$$

$$
C_{21}=18,\quad C_{22}=-15,\quad C_{23}=4,
$$

$$
C_{31}=5,\quad C_{32}=-4,\quad C_{33}=1.
$$

因此代数余子式矩阵为

$$
C=
\begin{pmatrix}
-24&20&-5\
18&-15&4\
5&-4&1
\end{pmatrix}.
$$

伴随矩阵为

$$
\operatorname{adj}(A)=C^T=
\begin{pmatrix}
-24&18&5\
20&-15&-4\
-5&4&1
\end{pmatrix}.
$$

因为 (\det A=1)，所以

$$
A^{-1}=
\begin{pmatrix}
-24&18&5\
20&-15&-4\
-5&4&1
\end{pmatrix}.
$$

6. 奇异矩阵与零因子

若 (\det A=0)，则 (A) 不可逆，称为奇异矩阵。零矩阵是奇异矩阵。

矩阵环中存在零因子：两个非零矩阵相乘可能得到零矩阵。例如

$$
A=\begin{pmatrix}1&0\0&0\end{pmatrix},
\qquad
A-I=\begin{pmatrix}0&0\0&-1\end{pmatrix}.
$$

二者都非零，但

$$
(A-I)A=
\begin{pmatrix}0&0\0&-1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0\0&0\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}0&0\0&0\end{pmatrix}.
$$

这是矩阵代数与普通数域代数的重要区别。

7. 转置、对称矩阵与反对称矩阵

把矩阵的行与列互换，得到转置矩阵，记作 (A^T)。例如

$$
\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}^T

\begin{pmatrix}a&c\b&d\end{pmatrix}.
$$

转置满足

$$
(A^T)^T=A,
$$

$$
(AB)^T=B^TA^T.
$$

若 (A^T=A)，称 (A) 为对称矩阵；若 (A^T=-A)，称 (A) 为反对称矩阵。任意方阵可唯一分解为对称部分与反对称部分之和：

$$
A=\frac{A+A^T}{2}+\frac{A-A^T}{2}.
$$

8. 凯莱–哈密顿定理

8.1 定理陈述

设 (A) 为 (n) 阶方阵，其特征多项式为

$$
p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A).
$$

若

$$
p_A(\lambda)=\lambda^n+c_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+c_1\lambda+c_0,
$$

则

$$
p_A(A)=A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1A+c_0I=0.
$$

也就是说：任意方阵都满足自身的特征方程。

原稿中写成

$$
\det(M-\lambda I)\bigg|_{\lambda=M}=0
$$

是不严谨的。标准写法应为

$$
p_A(A)=0,\qquad p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A).
$$

8.2 二阶情形与示例

设

$$
A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}.
$$

则

$$
p_A(\lambda)=\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc).
$$

由凯莱–哈密顿定理，

$$
A^2-(a+d)A+(ad-bc)I=0.
$$

例如取

$$
A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}.
$$

则

$$
\operatorname{tr}A=5,\qquad \det A=-2.
$$

所以

$$
p_A(\lambda)=\lambda^2-5\lambda-2.
$$

于是

$$
A^2-5A-2I=0.
$$

验证：

$$
A^2=
\begin{pmatrix}
7&10\
15&22
\end{pmatrix},
$$

$$
5A=
\begin{pmatrix}
5&10\
15&20
\end{pmatrix},
\qquad
2I=
\begin{pmatrix}
2&0\
0&2
\end{pmatrix}.
$$

因此

$$
A^2-5A-2I=
\begin{pmatrix}
7-5-2&10-10-0\
15-15-0&22-20-2
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
0&0\
0&0
\end{pmatrix}.
$$

8.3 三阶情形与示例

设

$$
A=
\begin{pmatrix}
a&b&c\
d&e&f\
g&h&i
\end{pmatrix}.
$$

则特征多项式为

$$
p_A(\lambda)

\lambda^3-(a+e+i)\lambda^2
+(ae+ai+ei-bd-cg-fh)\lambda
-\det A.
$$

其中

$$
\det A=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg.
$$

于是

$$
p_A(A)=0.
$$

例如取对角矩阵

$$
A=
\begin{pmatrix}
2&0&0\
0&3&0\
0&0&4
\end{pmatrix}.
$$

则

$$
p_A(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda-4)
=\lambda^3-9\lambda^2+26\lambda-24.
$$

于是

$$
A^3-9A^2+26A-24I=0.
$$

对对角元素逐一验证：

$$
2^3-9\cdot 2^2+26\cdot 2-24=8-36+52-24=0,
$$

$$
3^3-9\cdot 3^2+26\cdot 3-24=27-81+78-24=0,
$$

$$
4^3-9\cdot 4^2+26\cdot 4-24=64-144+104-24=0.
$$

因此定理成立。

9. 凯莱–哈密顿定理的应用

9.1 降幂

由凯莱–哈密顿定理，任意方阵 (A) 的任意有理整函数都可化为次数不超过 (n-1) 的多项式。例如二阶矩阵满足

$$
A^2=(a+d)A-(ad-bc)I.
$$

因此更高次幂可递推降低：

$$
A^{k+1}=(a+d)A^k-(ad-bc)A^{k-1}.
$$

9.2 可交换矩阵

若

$$
AB=BA,
$$

称 (A) 与 (B) 可交换。对于二阶非数量矩阵 (A)，所有与 (A) 可交换的矩阵都可写成

$$
B=\alpha A+\beta I.
$$

若 (A) 本身是数量矩阵 (A=\lambda I)，则任意同阶矩阵都与它可交换，不能只用 (\alpha A+\beta I) 表示。原稿未加这一限制，需注意。

例如取

$$
A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix},
\qquad
B=2A+I=
\begin{pmatrix}
3&4\
6&9
\end{pmatrix}.
$$

则

$$
AB=
\begin{pmatrix}
15&22\
33&48
\end{pmatrix},
\qquad
BA=
\begin{pmatrix}
15&22\
33&48
\end{pmatrix}.
$$

所以 (AB=BA)。

9.3 反交换矩阵

若

$$
AB=-BA,
$$

称 (A) 与 (B) 反交换。反交换比可交换弱得多。例如

$$
A=\begin{pmatrix}0&1\-1&0\end{pmatrix},
\qquad
B=\begin{pmatrix}1&0\0&-1\end{pmatrix}.
$$

则

$$
AB=
\begin{pmatrix}
0&-1\
-1&0
\end{pmatrix},
\qquad
BA=
\begin{pmatrix}
0&1\
1&0
\end{pmatrix}.
$$

因此

$$
AB=-BA.
$$

9.4 周期矩阵

若

$$
A^n=I,
$$

称 (A) 为 (n) 阶周期矩阵。对二阶矩阵，若 (A^2=I) 且 (A\neq \pm I)，则条件为

$$
\operatorname{tr}A=0,\qquad \det A=-1.
$$

例如

$$
A=
\begin{pmatrix}
0&1\
1&0
\end{pmatrix}.
$$

则

$$
\operatorname{tr}A=0,\qquad \det A=-1,
$$

并且

$$
A^2=
\begin{pmatrix}
1&0\
0&1
\end{pmatrix}=I.
$$

9.5 二阶矩阵的平方根

设

$$
A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix},
\qquad
L^2=A.
$$

记

$$
X=\operatorname{tr}L,\qquad Y=\det L,\qquad P=\operatorname{tr}A,\qquad Q=\det A.
$$

由凯莱–哈密顿定理，(L) 满足

$$
L^2-XL+YI=0.
$$

因为 (L^2=A)，所以

$$
A=XL-YI,
$$

即

$$
L=\frac{A+YI}{X}.
$$

同时

$$
Y^2=Q,\qquad X^2=P+2Y.
$$

因此 (Y) 有两个符号选择，(X) 又有两个符号选择。在特征值互异且非零的通常情形下，一般给出四个平方根。

例如取 (A=I)。显然 (L=I) 与 (L=-I) 都是平方根。此外

$$
L=
\begin{pmatrix}
0&1\
1&0
\end{pmatrix}
$$

也满足

$$
L^2=I.
$$

这说明当公式中出现分母 (X=0) 时，还会出现非平凡平方根。

10. 长方矩阵

若矩阵列数多于行数，称为扁矩阵；若行数多于列数，称为长矩阵。例如

$$
\begin{pmatrix}
a&b&c\
a'&b'&c'
\end{pmatrix}
$$

是扁矩阵，而

$$
\begin{pmatrix}
a&b\
a'&b'\
a''&b''
\end{pmatrix}
$$

是长矩阵。

长方矩阵的基本规则：

• 只有同型长方矩阵才能相加、相减。
• 当左矩阵列数等于右矩阵行数时，可以相乘。
• 乘积的行数等于左矩阵行数，列数等于右矩阵列数。
• 长方矩阵一般没有方阵意义下的双侧逆矩阵，但可能有左逆或右逆。
• 转置把扁矩阵变为长矩阵，把长矩阵变为扁矩阵。
• 对称、反对称概念通常只对方阵讨论。

11. 与四元数的联系

若存在二阶复矩阵 (L,M) 反交换，且

$$
L^2=M^2=-I,
$$

令

$$
N=LM,
$$

则

$$
L^2=M^2=N^2=-I,
$$

并且

$$
L=MN=-NM,\qquad M=NL=-LN,\qquad N=LM=-ML.
$$

这与四元数 (i,j,k) 的乘法关系一致：

$$
i^2=j^2=k^2=-1,\qquad ij=k,\quad ji=-k.
$$

例如取

$$
L=
\begin{pmatrix}
i&0\
0&-i
\end{pmatrix},
\qquad
M=
\begin{pmatrix}
0&1\
-1&0
\end{pmatrix}.
$$

则

$$
L^2=M^2=-I,
\qquad
LM=-ML.
$$

令

$$
N=LM=
\begin{pmatrix}
0&i\
i&0
\end{pmatrix},
$$

则也有

$$
N^2=-I.
$$

因此二阶复矩阵代数中已经包含了四元数结构的重要影子。

参考文献

[1] Cayley A. A Memoir on the Theory of Matrices[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1858, 148: 17–37.